Закон Паскаля — для жидкостей и газов
Покажем, как применять знание физики в жизни
Начать учиться
Блез Паскаль был плодовитым ученым и много чего придумал: взять хотя бы треугольник Паскаля или закон о давлении для жидкостей и газов. О последнем мы сегодня и поговорим.
Давление
Идущий по рыхлому снегу человек будет в него постоянно проваливаться. А вот на лыжах он сможет передвигаться по тому же самому снегу спокойно. Казалось бы, ничего не меняется — человек воздействует на снег с одинаковой силой и на лыжах, и без них.
Дело в том, что «проваливание» в снег характеризуется не только силой — оно также зависит от площади, на которую эта сила воздействует. Площадь поверхности лыжи в 20 раз больше площади поверхности подошвы, поэтому человек, стоя на лыжах, действует на каждый квадратный сантиметр с силой в 20 раз меньшей, чем без них.
Или, например, если вы будете с одинаковой силой втыкать кнопки в пробковую доску, легче войдет та кнопка, у которой более заостренный конец, так как его площадь меньше.
Резюмируем: результат действия силы зависит не только от ее модуля, направления и точки приложения, но и от площади поверхности, к которой эта сила приложена.
А теперь подтвердим этот вывод опытами, как настоящие физики.
Возьмем небольшую доску и вобьем гвозди в ее углы. Также возьмем емкость с песком и поставим конструкцию из доски и гвоздей в эту емкость. Сначала расположим конструкцию шляпками вниз и поставим на нее гирю. Конструкция не утонет в песке, а только чуть-чуть углубится в него.
Затем перевернем конструкцию так, чтобы шляпки гвоздей оказались сверху и также поставим на доску гирю. Теперь конструкция утонет в песке.
От того, какая сила действует на каждую единицу площади поверхности, зависит результат действия силы.
Во всех примерах мы говорили о действии силы, перпендикулярной поверхности. Чтобы охарактеризовать это действие, используется величина давление.
Давление p = F/S p — давление [Па] F — сила [Н] S — площадь [м2] |
Практикующий детский психолог Екатерина Мурашова
Бесплатный курс для современных мам и пап от Екатерины Мурашовой. Запишитесь и участвуйте в розыгрыше 8 уроков
Как уменьшить или увеличить давление
Тяжелый гусеничный трактор производит давление на почву, равное 40–50 кПа.
В зависимости от того, какое давление хотят получить, площадь опор уменьшают или увеличивают. Например, чтобы уменьшить давление здания на грунт, в процессе строительства увеличивают площадь нижней части фундамента.
Шины грузовых автомобилей делают значительно шире легковых автомобилей. Чтобы убедиться в этом, обратите внимание на колеса какой-нибудь большой фуры. Самые широкие шины можно увидеть на автомобилях, предназначенных для передвижения в пустыне. Тот же лайфхак используется в шасси самолетов.
Обратную зависимость тоже применяют, например, при создании лезвий колющих и режущих инструментов. Острое лезвие имеет малую площадь, поэтому даже при небольшом нажатии создается большое давление.
Задачка раз
Книга лежит на столе. Масса книги равна 0,6 кг.
Площадь ее соприкосновения со столом равна 0,08 м2. Определите давление книги на стол. В этой задаче g = 10 Н/кг.
Решение
На стол будет давить сила, равная весу книги. Так как она покоится, ее вес будет равен силе тяжести. Следовательно:
p = mg/S = 0,6 × 10 / 0,08 = 75 Па
Ответ: давление книги на стол будет равно 75 Па.
Задачка два
Гусеничный трактор ДТ-75М массой 6 610 кг имеет опорную площадь обеих гусениц 1,4 м2. Определите давление этого трактора на почву. В этой задаче g = 10 Н/кг.
Решение:
p = mg/S = 6 610 × 10 / 1,4 = 47 214 Па = 47,2 кПа
Ответ: давление трактора на почву составляет 47,2 кПа.
Задачка три
Человек массой 80 кг с сумкой весом 100 Н стоит неподвижно на полу.
Сила давления подошв его ботинок на пол равномерно распределена по площади 600 см2. Какое давление человек оказывает на пол? В этой задаче g = 10 Н/кг.
Решение
Масса человека: m = 80 кг.
Вес сумки, которую держит человек: Pc = 100 Н.
Площадь соприкосновения подошвы ботинок с полом: S = 600 см2.
600 см2 = 600 / 10 000 м2 = 0,06 м2
Давление — это отношение силы к площади, на которую она действует. В данном случае на площадь действует сила, равная сумме силы тяжести человека и веса сумки:
F = mg + Pс
Поэтому давление, оказываемое человеком с сумкой на пол, равно:
p = (mg + Pс) / S = (80 × 10 + 100) / 0,06 = 15 000 Па = 15 кПа
Ответ: давление человека с сумкой на пол равно 15 кПа.
Еще больше интересной практики — на элективном курсе по физике для 10 класса.
Определение закона Паскаля
Прежде чем переходить к формулировке закона, рассмотрим опыт с шаром Паскаля. Присоединим к трубе с поршнем полый шар со множеством небольших отверстий. Зальем в шар воду и будем давить на поршень. Давление в трубе вырастет и вода будет выливаться через отверстия, причем напор всех струй будет одинаковым. Такой же результат получится, если вместо воды в шарике будет газ.
Это работает только с жидкостями и газами. Дело в том, что молекулы жидких и газообразных веществ под давлением ведут себя совсем не так, как молекулы твердых тел. Если молекулы жидкости и газа движутся почти свободно, то молекулы твердых тел так не умеют. Они могут лишь колебаться, немного отклоняясь от исходного положения. Именно благодаря свободному передвижению молекулы газа и жидкости оказывают давление во всех направлениях.
Итак, мы подошли к формулировке закона Паскаля, и звучит она так:
Давление, производимое на жидкость или газ, передается в любую точку одинаково во всех направлениях.
Важный момент
У Земли есть атмосфера. Эта атмосфера создает давление, которое добавляется ко всем другим. То есть если мы давим рукой на стол, то давление, которое испытывает стол — это давление нашей руки плюс атмосферное.
Карина Хачатурян
К предыдущей статье
Ядерный реактор
К следующей статье
Насыщенный и ненасыщенный пар
Получите индивидуальный план обучения физике на бесплатном вводном уроке
На вводном уроке с методистом
Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению
Расскажем, как проходят занятия
Подберём курс
Конвертер величин / Калькулятор единиц измерения
Изначальное значение:
Калькулятуру классических единиц измерения:
Категории измерений:Активность катализатораБайт / Битвес ткани (текстиль)ВремяВыбросы CO2Громкость звукаДавлениеДинамическая вязкостьДлина / РасстояниеЁмкостьИмпульсИндуктивностьИнтенсивность светаКинематическая вязкостьКоличество веществакоэффициент теплопередачи (U-value)Кулинария / РецептыМагнитный потокмагнитодвижущая силаМасса / ВесМассовый расходМолярная концентрацияМолярная массаМолярная теплоёмкостьМолярный объемМомент импульсаМомент силыМощностьМощностью эквивалентной дозыМузыкальный интервалНапряжённость магнитного поляНефтяной эквивалентОбъёмОбъёмная теплоёмкостьОбъёмный расход жидкостиОбъемный тепловой потокОсвещенностьПлоский уголПлотностьПлотность магнитного потокаПлощадьПоверхностное натяжениеПоглощённая дозаПриставки СИпроизведение дозы на длинупроизведения дозы на площадьПроизводительность компьютера (флопс)Производительность компьютера (IPS)РадиоактивностьРазмер шрифта (CSS)Световая энергияСветовой потокСилаСистемы исчисленияСкоростьСкорость вращенияСкорость передачи данныхСкорость утечкиСопротивление теплопередаче (значение R)Текстильные измеренияТелесный уголТемператураТепловой потокТеплоемкостьТеплопроводностьУдельная теплоёмкостьУскорениеЧастей в .
Изначальная единица измерения:Ангстрем [Å]Астрономическая единица [AU]аттометр [ам]гектометр [гм]Гигаметр [Гм]декаметр [дам]дециметр [дм]Дюйм [in]Икс-единица — СигбанКабельтовКвартеркилометр [км]ЛинкЛокоть (британский)Мегаметр [Мм]Метр [м]Метрическая милямикрометр [мкм]миллиметр [мм]Миль — тыcячМиля (международная) [mi]Миля (США)Морская миляМорская саженьнанометр [нм]Парсек [pc]Перчпикометр [пм]Планковская длинаПольРимская миляРодсантиметр [см]Световые годыСветовые дниСветовые минутыСветовые секундыСветовые часыСтатутная миляТвипфемтометр [фм]ФурлонгФут [ft]Чейн [ch]Ярд
Требуемая единица измерения:Ангстрем [Å]Астрономическая единица [AU]аттометр [ам]гектометр [гм]Гигаметр [Гм]декаметр [дам]дециметр [дм]Дюйм [in]Икс-единица — СигбанКабельтовКвартеркилометр [км]ЛинкЛокоть (британский)Мегаметр [Мм]Метр [м]Метрическая милямикрометр [мкм]миллиметр [мм]Миль — тыcячМиля (международная) [mi]Миля (США)Морская миляМорская саженьнанометр [нм]Парсек [pc]Перчпикометр [пм]Планковская длинаПольРимская миляРодсантиметр [см]Световые годыСветовые дниСветовые минутыСветовые секундыСветовые часыСтатутная миляТвипфемтометр [фм]ФурлонгФут [ft]Чейн [ch]Ярд
Перевод единиц измерения никак нельзя назвать банальной задачей:
Миллиметр, сантиметр, дециметр, метр, километр, миля, морская миля, фут, ярд, дюйм, локоть, парсек и световой год.
С помощью этих измерений могут быть рассчитаны расстояния. И это далеко не все возможные измерения, а лишь наиболее распространенные из них.
В случаях измерений площади (квадратный метр, квадратный километр, ар, гектар, морган, акр и другие), температуры
(в градусах по Цельсию, по Кельвину, по Фаренгейту), скорости (м/с, км/час, миль/ч, узлы, мах), веса
(центнер, килограмм, метрическая тонна, американская тонна, стандартная тонна, фунт и другие) и объема
(кубический метр, гектолитр, английский галлон жидкости, американский жидкий галлон, американский сухой галлон, баррель и другие)
ситуация не намного лучше. А если всего этого вам показалось мало — большинство из этих единиц также имеют подразделения и высшие единицы
(например, милли-, санти-, деци-). Короче говоря, хаос, в котором так трудно разобраться без помощи справочника или других средств.
Данный калькулятор единиц измерения идеально подходит для перевода данных единиц.
Калькулятор-конвертор для единиц измерения. Способен преобразовать огромное количество единиц измерения.
Фибоначчи, Лукас и золотое сечение в треугольнике Паскаля
Это третья статья из серии гостевых постов Дэвида Бенджамина, исследующих секреты треугольника Паскаля.
Леонардо Пизано (1170-1250), ныне широко известный как Фибоначчи, родился в Пизе, Италия, где он также жил на момент своей смерти. Он получил образование в Северной Африке, так как его отец работал там, представляя торговцев Республики Пизы, когда они торговали в Бугии, теперь называемой Беджая, средиземноморском порту в Алжире.
Статуя Фибоначчи работы Джованни Пагануччи сохранилась на монументальном кладбище Пизы. Фибоначчи вернулся в Пизу примерно в 1200 г., где написал ряд важных книг. Его книга Liber abaci представила индийско-арабскую позиционную десятичную систему и арабские цифры, которые мы сейчас используем.
Книги и любые копии должны были быть написаны от руки, так как это предшествовало печатному станку. Фибоначчи теперь в основном помнят за введение чисел и последовательности Фибоначчи, которые появились в третьем разделе Liber abaci как задача о кроликах :
Некий человек посадил пару кроликов в месте, окруженном со всех сторон стеной. Сколько пар кроликов может быть произведено из этой пары в год, если предположить, что каждый месяц каждая пара рождает новую пару, которая со второго месяца становится продуктивной?
В результате получается последовательность $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…$ (хотя Фибоначчи не включил в книгу первый член). 92 – x – 1 = 0$ Следовательно, поскольку $\phi$ является корнем целочисленного многочлена, он не является трансцендентным, в отличие от $\pi$.
\[ \frac{1}{1} = 1 \qquad \frac{2}{1} = 2 \qquad \frac{3}{2} = 1,5 \qquad \frac{5}{3} = 1,666 \ ldots \qquad \frac{8}{5} = 1,6\]
\[ \frac{13}{8} = 1,625 \qquad \frac{21}{13} \ приблизительно 1,615384 \qquad \frac{34}{21} \ приблизительно 1,619047 \qquad \frac{55}{34} \ приблизительно 1,617647 \qquad\ldots\]
В самом деле, сходимость к $\phi$ остается истинной, если мы начнем с любой пары натуральных чисел и будем следовать той же схеме, где любой член после второго является суммой двух предыдущих членов.
| Слагаемые | Отношение | ||
| 3 | 3 … 3 2,30303 039 | 7 | 1.428571… |
| 10 | 1,7 | ||
| 17 | 0 1,58823… | ||
| 27 | 1,62962… | ||
| 44 | 1,61363… | 9||
| 115 | 1,61739… | ||
| 186 | 1,61827… | ||
| 301 | 487 | 1.61806… | |
| 788 | 1.61802… | ||
| 1275 | 0 1.60140 1.61802… …
| 8 | 3|
| 11 | 1,72727… |
| 19 | 1,57894… |
| 30 | 1,63333… |
| 49 | 1,61224… |
| 79 | 1,62025… | 4
1. 61718… | |
| 207 | 1,61835… |
| 335 | 1,61791… |
| 542 | 1,61808… 70043 |
| 1,61801… |
| Термины | Коэффициент |
| 2 | 0,5 |
| 3 | |
| 3 | 1.33333… |
| 4 | 1,75 |
| 7 | 1.57142… | 30
| 1,36363… | |
| 18 | 1,61111… |
| 29 | 1,62068… |
| 47 | 1.61702… |
| 76 | 1.61842… |
| 123 | |
| 123 | |
| 199 | 1,61809… |
| 322 | 1,61801… |
В Liber abaci Фибоначчи включил другие математические задачи — о совершенных числах, китайской теореме об остатках и о сумме арифметических и геометрических рядов. Он написал книгу по геометрии Practica geometriae , и, возможно, его самой впечатляющей работой была Liber quadratorum , в которую он включил методы нахождения пифагорейских троек. Но именно за его последовательность его в основном помнят.
Последовательность Фибоначчи в треугольнике Паскаля
Обнаружение того, что последовательность Фибоначчи можно найти в треугольнике Паскаля, было для меня радостью, и мне трудно поверить, что это просто совпадение. Чтобы просмотреть последовательность Фибоначчи, мы можем отобразить треугольник как прямоугольный треугольник.
Последовательность Фибоначчи скрыта в треугольникеЗолотое сечение в искусстве, музыке и архитектуре
Мой интерес к математике начался после выхода фильма Дональд Дак в стране волшебства 9.
0004 был показан нашему классу в первый год моей учебы в средней школе в Бернедже, Манчестер, Англия, и как учитель математики я показывал его на уроке перед Рождеством многим семиклассникам.
Фильм иллюстрирует, как золотой прямоугольник использовался художниками и архитекторами на протяжении всей истории, а также связь между золотым сечением и музыкой. Фильм имитирует часть романа Алиса в стране чудес Льюиса Кэрролла, псевдонима математика Чарльза Лютвиджа Доджсона.
Другие связи между золотым сечением и музыкой можно найти здесь, а между соотношением и скрипкой Страдивари здесь:
Леди Блант, показанная выше, показывает измерения, связанные с золотым сечением:
\[ \frac{a_1 +a_2}{a_2}=\frac{a_2}{a_1}=\frac{b_2}{b_1}=\frac{b_2}{c_2}=\frac{c_2}{c_1}= \фи\]
Ниже представлена геометрическая интерпретация золотого сечения и золотого прямоугольника:
Числа Лукаса в треугольнике Паскаля
Франсуа Эдуар Анатоль Лукас Французский математик Франсуа Эдуар Анатоль Лукас (1842–1891) служил артиллерийским офицером во время франко-прусской войны и впоследствии стал профессором математики в лицее Сен-Луи, а затем профессором математики в лицее Шарлемань в Париже.
Лукас проделал большую работу по теории чисел, особенно интересовался последовательностью Фибоначчи и разработал тест для простых чисел Мерсенна, который используется до сих пор.
Лукас умер от рожистого воспаления (бактериальной кожной инфекции) через несколько дней после странного несчастного случая. Он был на банкете, когда осколок упавшей тарелки взлетел и порезал ему щеку. 9{th} = 55 \div 5 = 11$,..
Немного поработав с треугольником Паскаля и применив базовую арифметику, мы можем найти числа Лукаса в треугольнике. Мы начинаем с размещения треугольника, как показано ниже, и суммируем столбцы, чтобы получить последовательность Фибоначчи
. Числа Фибоначчи показаны как суммы столбцовТеперь мы умножаем каждое число Паскаля на номер его столбца и делим на номер его строки, начиная со строки $1$, столбца $1$, а затем суммируем новые записи в каждом столбце. Первые несколько расчетов показаны ниже: 9{th}$ Числа Лукаса и Фибоначчи соответственно.
В следующей части мы рассмотрим еще некоторые связи между треугольником и конкретными числами, а также типы чисел.
Треугольник Паскаля
Генетика:
Треугольник Паскаля и расчеты риска события одного вида, зная вероятность того, что каждое событие произойдет независимо. Это более простой подход к использованию биномиального распределения.
Принципы: Треугольник Паскаля
Самый простой способ взглянуть на роль Треугольника Паскаля заключается в изучении семьи с аутосомно-наследственным заболеванием.
Рассмотрим следующий сценарий:
У 45-летнего мужчины диагностирован дефицит антитромбина типа 1 [AT:Act 45 U/dL], и он обеспокоен тем, что он мог передать его трем своим детям. У его партнера нормальный функциональный уровень антитромбина. Он консультируется с вами и спрашивает, каков риск того, что у его детей будет дефицит антитромбина 1-го типа.
Дефицит антитромбина наследуется как аутосомно-доминантное заболевание.
Семейная родословная представлена ниже:
Квадраты = мужчины
Кружки = женщины
Сплошной квадрат – мужчина с дефицитом антитромбина 1-го типа
? — Фенотип/генотип неясен
Он консультируется с вами и спрашивает, каковы риски того, что:
1.
Все трое его детей [II:1, II:2 и II:3] будут иметь дефицит антитромбина типа 1.
2. У всех троих его детей [II:1, II:2 и II:3] не будет дефицита антитромбина 1-го типа?
3. У 1 из его детей будет дефицит антитромбина типа 1?
4. У 2 из его детей будет дефицит антитромбина типа 1?
Мы можем получить ответы на эти вопросы, используя треугольник Паскаля, полученный путем разложения (p + q) n . Это показано на диаграмме ниже:
p = вероятность того, что событие не произойдет — в этом случае не будет наследовать расстройство
q = вероятность того, что событие произойдет — в этом случае будет наследоваться расстройство
n = общее количество нарушений — в данном случае количество потенциальных или фактических потомков
Итак, если мы посмотрим на семью с 3 возможными детьми [n = 3] и если будем читать по Треугольнику, мы увидим, что для у всех троих детей дефицит антитромбина I типа, вероятность равна [q] 3 , где q = 1/2, и, следовательно, [1/2] 3 = 1/8.
Дефицит антитромбина является аутосомно-наследственным заболеванием, и риск наследования мутантного аллеля от родителя составляет 1/2, а риск не унаследовать его также составляет 1/2. Значит, вероятность того, что все трое детей будут нормальными [p] 3 равно 1/8, и, аналогично, вероятность того, что у всех 3 детей будет дефицит антитромбина типа 1, составляет [q] 3 , что также равно 1/8.
Чтобы установить, будет ли поражен только 1 ребенок, а два других здоровы, мы снова читаем от n=3 до того места, где мы видим 3pq 2 и, таким образом, 3pq 2 = 3 x 1/2 x [1 /2] 2 = 3 х 1/2 х 1/4 = 3/8. Таким образом, риск того, что у них будет один больной ребенок и два нормальных ребенка, составляет 3/8.
Помните, что p — это вероятность того, что событие не произойдет — в данном случае не наследования расстройства, а q — вероятность того, что событие произойдет — в данном случае наследования расстройства.
Наконец, риск того, что у них будет два больных ребенка и один нормальный ребенок, равен 3p 2 q = 3 x [1/2] 2 x 1/2 = 3/8.